lunes, 4 de agosto de 2008

Ejercios de probabilidades 1

GUIA DE EJERCICIOS 1
PROBABILIDADES

1. Sean A,B,C eventos en un espacio muestral S, definidos por:
S={x : x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={x : x=1,3,5,7,9}
B={x : x=1,2,3,4,5,6}
C={x : x=5,6,7,8,9,10}

Describa los sucesos elementales en cada uno de los siguientes eventos:
A) A∩(B∩C)
D) Ac∩Bc
B)ABUC
E)(A∩B)c
C) Sc
F)(A∩B)c

2. Sean A,B,C eventos en un espacio muestral , definido por:

S,={x : x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={x : x=5,6,7,8,9,10}
B={x : x=1,2,3,4,5,6}
C={x : x=1,2,3,8,9,10}

Describa los sucesos elementales en cada uno de los siguientes eventos:
(a) Que ocurra A o B o ambos. (c) Que A ocurra y B no ocurra.
(b) Que no ocurra A. (d) Que no ocurra ni A ni C.

3. Sea el experimento: “Se lanza una moneda al aire hasta que salga el primer sello”
(i) Defina el espacio muestral ,.
(ii) Calcule la probabilidad de que salga sello en el tercer lanzamiento de la moneda.
(iii) Calcula la probabilidad de que salga sello antes del tercer lanzamiento.

4. Considere el experimento: “Se lanzan dos dados sobre una mesa, observando la suma que muestran ambos dados”.
(i) Defina el espacio muestral ,.
(ii) Calcule la distribución de probabilidades de los elementos de ,.(iii) Verifique que lo obtenido en (ii) es efectivamente una distribución de probabilidades


5. Una urna contiene 10 esferas, 6 rojas y 4 verdes, haciéndose un experimento en dos pasos: (i) se saca aleatoriamente una esfera de la urna y se observa su color, con reemplazo (o sea, con reposición de la esfera a la urna, una vez observada); (ii) Se saca nuevamente una esfera con reposición observando su color.

(i) Describa el espacio muestral Ω. , para este experimento.
(ii) Describa la distribución de probabilidades de los elementos de ,.
(iii) Verifique que lo obtenido en (ii) es efectivamente una distribución de probabilidades.

6. Cierta población contiene 2 enfermos por cada 3 sanos. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un enfermo?

7. Si se lanzan dos monedas insesgadas (honestas) al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener "cara"en una moneda y "sello" en la otra?

8. Si se lanza un dado dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos y un tres, en ese orden?

9. La siguiente tabla es el resultado de cruzar el grupo etario al que pertenece una persona y la presencia de cierta patología, para un total de 180 personas.

------------------Patología
-------------------Si----No----Total
------------------------------------
-------------<50---16----20-------36
Edad
------------->50---64----80------144
------------------------------------
Total--------------80---100------180

Se definen los eventos:
A=La edad es mayor de 50 años.
B=La patología está presente

Calcule las siguientes probabilidades:

(a) P(A)
(b) P(B)
(c) P(A∩B)
(d) P(AUBc)
(e) P(A│B)
(f) P(B│A)
(g) P(B│Ac)
(h) P(Ac∩Bc)
(I) P(AcUBc)

10. En la tabla del problema 9, ¿Son A y B sucesos independientes?

11. En cierta ciudad se publican 3 periódicos, A, B y C. A partir de una encuesta se pudo estimar
que, de todos los adultos de la ciudad:
El 20% lee el periódico A (aunque pueden además leer otros)
El 16% lee el periódico B (aunque pueden además leer otros)
El 14% lee el periódico C (aunque pueden además leer otros)
El 8% lee los periódicos A y B
El 5% lee los periódicos A y C
El 4% lee los periódicos B y C
El 2% lee los 3 periódicos.
¿Qué porcentaje de la población adulta lee al menos un periódico?.
De aquellos que leen al menos uno, ¿Qué porcentaje lee los periódicos A y B?

13. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar 3 monedas al aire? ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 2 caras?

14. Si una población tiene m personas con una patología determinada y n personas sanas.
(i) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población tenga la patología?
(ii) Si al sacar 5 personas de la población se observa que las 5 tienen la patología, ¿Cuál es la
probabilidad de que la sexta persona elegida al azar sea sana?
(iii) Si al sacar 5 personas de la población se observa que las 5 son sanas, ¿Cuál es la probabilidad de
que la sexta persona elegida al azar sea sana?

15. La administración de la universidad le asegura a un médico que hay una chance de 1 en 1000 de quedar atrapado en el ascensor del hospital un día cualquiera. Si el médico va al trabajo 5 días a la semana, 52 semanas al año, por 10 años y siempre toma el ascensor hasta su oficina cuando llega al edificio:

(i) ¿Cuál es la probabilidad de que nunca quede atrapado en el ascensor?
(ii) ¿Cuál es la probabilidad de que quede atrapado al menos una vez durante su vida
laboral?

16. Resuelva el problema anterior asumiendo otra distribución de probabilidades para la variable aleatoria X=Número de veces que el médico queda atrapado en el ascensor durante su vida laboral. (La idea de este ejercicio es que el problema anterior puede ser resuelto asumiendo una distribución de probabilidades alternativa para X).

17. Una rata, sometida a cierto proceso, muere en el transcurso de la primera semana después del proceso con probabilidad 0.8. Si se repite el proceso con 12 ratas, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 11 ratas mueran durante la primera semana?


RESULTADOS EN AYUDANTIA

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